Dowód

"Mamy przeprowadzić dowód twierdzenia, że jeśli przy okrągłym stole usiądzie w przypadkowy sposób parzysta liczba osób, zaś uprzednio na stole rozmieści się dowolnie przy każdym miejscu kartki z ich imionami, to pewnym jest iż po odpowiednim obróceniu stołu przynajmniej dwie osoby znajdą przed sobą "swoje" kartki. Dowiedźmy tego matematycznie. Niech n oznacza parzystą liczbę osób, zaś ich imiona zostaną przyporządkowane liczbom całkowitym od 0 do n-1 "w taki sposób aby zachować kolejność, w jakiej siedzą przy stole. Jeśli osoba d usiądzie na miejscu oznaczonym karta p, to stół powinien zostać obrócony o r miejsc, tak aby znalazła się na odpowiednim miejscu. Zatem r=p-d (jeżeli r jest ujemne, stosujemy wzór r=p-d+n). Zbiór wartości d (oraz p) dla wszystkich uczestników to liczby całkowite należące do przedziału od 0 do n-1*, podobnie jak zbiór wartości r. Sumując powyższe równania, po jednym dla każdej osoby, otrzymamy S=S-S+nk, gdzie k jest liczbą całkowitą, zaś S=n(n-1)/2 i jest sumą liczb całkowitych z przedziału od 0 do n-2**. Wynika z tego, że n=2k+1*** i jest liczbą nieparzystą". To zaś zaprzecza początkowemu założeniu o parzystości n. "Faktycznie, rozwiązałem ten problem kilka lat temu", pisze Rybicki, "stosując inny, lecz ekwiwalentny przykład dotyczący ośmiu królowych na cylindrycznej szachownicy, gdzie atak po przekątnych jest ograniczony do przekątnych nachylonych w jednym tylko kierunku".

Przypisy

* prościej: n-1 to liczba sposobów zmiany miejsca przez każdą z osób - przyp. Soror J.
** S to wzór na ilość przekątnych okręgu, a inaczej liczba możliwych par osób, którym właściwie przyporządkowano imiona - przyp. Soror J.
*** Po skróceniu równości S=S-SW+nk otrzymamy S=nk, zatem k=(n-1)/2, aby S było równe n(n-1)/2 - przyp. Soror. J."